Открытый банк заданий ЕГЭ

Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 70. Найдите бóльшую сторону параллелограмма.

В треугольнике ABC угол C равен 90^\circ, BC = 4, \tg A = \frac{4\sqrt{33}}{33}. Найдите AB.

В треугольнике со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 4. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases}
\dfrac{(y^2 - xy - 9y + 5x + 20)\sqrt{x+5}}{\sqrt{7 - y}} = 0,\\
a = x + y
\end{cases}

имеет единственное решение.

В треугольнике ABC продолжения высоты CC_1 и биссектрисы BB_1 пересекают описанную окружность в точках N и M соответственно, \angle ABC = 40^\circ, \angle ACB = 85^\circ.

а) Докажите, что BM = CN.
б) Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.

15-го марта планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1924 тысячи рублей?

Решите неравенство \frac{2^{5+x} - 2^{-x}}{2^{3-x} - 4^{-x}} \ge 2^x.

В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 отмечены середины M и N отрезков AB и AD соответственно.

а) Докажите, что прямые B_1N и CM перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если B_1N = 3\sqrt{5}.