Задания ЕГЭ | Математика (профильная)

Решение:
Скалярное произведение равно 

Ответ: 10,5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярное произведение равно 

Ответ: 7,5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярное произведение векторов равно: 

Ответ: 63

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Найдём координаты векторов:  и 
Скалярное произведение векторов равно: 

Ответ: 41

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Найдём координаты векторов:  и 
Скалярное произведение векторов равно: 

Ответ: 71

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Найдём координаты векторов:  
Найдём координаты вектора 
Найдём координаты вектора 
Найдём длину данного вектора: 

Ответ: 8

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярное произведение векторов равно: 

Ответ: 62

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярное произведение векторов равно: 

Ответ: 86

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Найдём координаты векторов  
Найдём координаты вектора  
Найдём координаты вектора 
Найдём длину данного вектора: 

Ответ: 11

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярное произведение двух векторов  и  равняется 
Подставим известные значения и найдём скалярное произведение: 

Ответ: 82

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Ответ: 60

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Найдём координаты векторов:


Найдём координаты вектора

Найдём координаты вектора

Найдём длину данного вектора:

Ответ: 10

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Вектор  увеличим по длине в 2 раза, у вектора  поменяем направление на противоположное, сохранив угол наклона и перенесём его начало в конец вектора 

Искомое длину вектора можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

Ответ: 5

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Отсюда следует, что координаты вектора  равны 
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Иными словами, если  и  - данные векторы, то вектор  имеет координаты  

Найдём координаты искомого вектора:

Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора  вычисляется по формуле

Найдём длину искомого вектора:

Ответ: 10

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат её конца и начала.
Следовательно, вектор  имеет координаты 
На рисунке точки B и C имеют координаты  и  поэтому координаты вектора  равны 

Найдём координаты векторов, найдя на рисунке координаты точек начала и точек конца каждого вектора:

Найдём скалярное произведение векторов:

Ответ: 12

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Радиус сферы равен радиусу конуса. Обозначим их радиусы за r.

Образующая цилиндра входит в равнобедренный прямоугольный треугольник, где радиусы сферы и цилиндра его катеты. Пусть образующая будет 

Ответ: 140

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Многогранник, объем которого необходимо найти, является треугольной пирамидой, высота которой равна а основание представляет собой прямоугольный треугольник  Следовательно, этот объем равен

Ответ: 63

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Искомый объем равен половине объема прямоугольного параллелепипеда  следовательно, он равен

Ответ: 60

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Ответ: 2275

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Радиус шара равен радиусу цилиндра. Высота цилиндра равна двум радиусам шара:
$\mathrm{h}=\mathrm{R}+\mathrm{R}=2\mathrm{R}.$
Тогда объём цилиндра равен:
${\mathrm{V}}_{\mathrm{цил}.}={\mathrm{\pi R}}^2·\mathrm{h}={\mathrm{\pi R}}^2·2\mathrm{R}=2{\mathrm{\pi R}}^3.$
Объём шара равен 50 и находится по формуле:

Ответ: 75

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)