Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
В трапеции ABCD с основанием AD диагонали пересекаются в точке O, AD = 2BC. Через вершину A проведена прямая параллельная диагонали BD, а через вершину D проведена прямая параллельная диагонали AC, и эти прямые пересекаются в точке E.
а) Докажите, что BO : AE = 1 : 2.
б) Прямые BE и CE пересекают сторону AD в точках M и N соответственно.
Найдите MN, если AD = 10.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.
а) Может ли на доске быть 5 чисел?
б) Может ли на доске быть 6 чисел?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
\frac{|4x| - 2x - 3 - a}{x^2 - 2x - a} = 0
имеет ровно два различных решения.
Дан треугольник ABC. Известно, что BC = \sqrt{37}, AB = 4, AC = 3. На стороне BC построен равносторонний треугольник BDC, при этом точки А и D лежат по разные стороны от прямой BC.
а) Докажите, что вокруг полученного четырёхугольника ABDC можно описать окружность.
б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC до центра его описанной окружности.
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 1 : 2, точка K — середина DD_1.
а) Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB_1 пополам.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MCK, если \angle ADC = 60^\circ, а \angle MKC = 90^\circ.
а) Решите уравнение 2\cos^2 x + 2\sin 2x = 3.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{3\pi}{2}; −\frac{\pi}{2}].
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 22,5^\circ. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол BPC равен 135^\circ.
а) Докажите, что углы BCP и POB равны.
б) Прямая PO пересекает сторону AD в точке F. Найдите DF, если BP = 7 и CP = 5\sqrt{2}.
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, а угол BDC равен 75^\circ. Точка P лежит вне прямоугольника, а угол APB равен 150^\circ.
а) Докажите, что углы BAP и POB равны.
б) Прямая PO пересекает сторону CD в точке F. Найдите CF, если AP = 6\sqrt{3} и BP = 4.
