Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13.
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите BC, если радиусы окружностей равны \sqrt{15} и 15.
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает бóльшую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.
Точка K лежит на отрезке AB. Прямая, проходящая через точку B, касается окружности с диаметром AK в точке N и второй раз пересекает окружность с диаметром BK в точке M. Продолжение отрезка NK пересекает окружность с диаметром BK в точке P.
а) Докажите, что прямые AN и BP параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKP, если BM = 1 и MN = 4.
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол АВС, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Точки A_1, B_1, C_1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A_1CB_1, A_1BC_1 и B_1AC_1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что AB = AC = 17 и BC = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A_1CB_1, A_1BC_1 и B_1AC_1.
Точки A_1, B_1, C_1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A_1CB_1, A_1BC_1 и B_1AC_1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что AB = AC = 13 и BC = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A_1CB_1, A_1BC_1 и B_1AC_1.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что AB = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет \frac{16}{81} площади трапеции ABCD.
Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.
а) Докажите, что \angle AOB = \angle COD = 90^\circ.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что AB = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет \frac{12}{49} площади трапеции ABCD.
