Открытый банк заданий ЕГЭ

В параллелограмме ABCD тангенс угла А равен 1,5. На продолжениях сторон АВ и ВС параллелограмма за точку В выбраны точки N и М соответственно, причём BC = CN и AB = AM.

а) Докажите, что DN = DM.
б) Найдите MN, если AC = \sqrt{13}.

В параллелограмме ABCD угол A острый. На продолжениях сторон AD и CD за точку D выбраны точки M и N соответственно, причём AN = AD и CM = CD.

а) Докажите, что BN = BM.
б) Найдите MN, если AC = 5, \sin \angle BAD = \frac{5}{13}.

Точки A,B,C,D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём BC=CD=DE, а AC \perp BE. Точка K — пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая CE делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника ABK, если AD=4, DC=\sqrt{3}.

Точки A, B, C, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём AE = ED = CD, а прямые AC и BE перпендикулярны. Отрезки AC и BD пересекаются в точке T.

а) Докажите, что прямая EC пересекает отрезок TD в его середине.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD = 6, AE = \sqrt{6}.

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,2.

а) Докажите, что прямые KN и AD параллельны.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BCNK, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 7, AK : KB = 9 : 10, а BC < AD и BC = 10.

На сторонах АВ и CD четырёхугольника ABCD, около которого можно описать окружность, отмечены точки K и N соответственно. Около четырёхугольников AKND и BCNK также можно описать окружность. Косинус одного из углов четырёхугольника ABCD равен 0,25.

а) Докажите, что четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AKND, если радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, равен 8, AK : KB = 2 : 5, а BC < AD и BC = 4.

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC и пересекает его катеты AC и BC в точках E и F. Точка D — основание высоты, опущенной на AB. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что точки E и F лежат на прямой IJ.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой IJ, если AC = 2\sqrt{3}, BC = 2.

Окружность с центром в точке С касается гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС и пересекает его катеты АС и ВС в точках Е и F. Точка D — основание высоты, опущенной из вершины С. I и J — центры окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD.

а) Докажите, что I и J лежат на отрезке EF.
б) Найдите расстояние от точки С до прямой IJ, если АС = 15, ВС = 20.

В трапеции ABCD с меньшим основанием ВС точки E и F — середины сторон ВС и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если BC = 16, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 7.

В трапеции ABCD с меньшим основанием BC точки E и F — середины сторон BC и AD соответственно. В каждый из четырёхугольников ABEF и ECDF можно вписать окружность.

а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если AB = 7, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABEF, равен 2,5.