Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AB : AL = BC : AC.
б) Найдите EL, если AC = 24, tg \angle BCA = 0,6.
В параллелограмме ABCD угол ВАС вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла ВАС пересекает отрезок ВС в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка Е, что AE = CE.
а) Докажите, что AL: AC = AB : BC.
б) Найдите EL, если AC = 21, tg \angle BCA = 0,4.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c, большее основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b + c < 2a.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 6, a = 10.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c, больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если b + c > 2a, то окружность пересекает сторону BC в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка ВС, которая находится внутри окружности, если с = 12, b = 10, a = 8.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 3. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 2.
а) Докажите, что точка М делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины С.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = \sqrt{15}.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 3.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2 : 1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = 2\sqrt{3}.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML проведены биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN проведена прямая, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите \cos \angle LKN , если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML проведены биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN проведена прямая, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите cos \angle LKN, если KP : PM = 2 : 3, AP : PB = 1 : 2.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А вписана окружность с центром в точке О и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой АВ проведена касательная, которая пересекает стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке О_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и АВ пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если R = 5, r = 3.
В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А вписана окружность с центром в точке О и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой АВ проведена касательная, которая пересекает стороны ВС и АС в точках D и Е соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке О_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и АВ пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если R = 6, r = 4.
