Открытый банк заданий ЕГЭ

Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведённая к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.

а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если \cos \angle BAC = \frac{4}{5}.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A_1, биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B_1, биссектриса угла C пересекает описанную окружность в точке C_1.
а) Докажите, что угол A_1BB_1 = 45^\circ.
б) Известно, что AB = 2\sqrt{3}, \angle A = 60^\circ. Найдите B_1C_1.

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.

Две окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках A и B, причём точки O_1 и O_2 лежат по разные стороны от прямой AB. Продолжения диаметра CA первой окружности и хорды CB этой окружности пересекают вторую окружность в точках D и E соответственно.

а) Докажите, что треугольники CBD и O_1A O_2 подобны.
б) Найдите AD, если \angle DAE = \angle BAC, радиус второй окружности втрое больше радиуса первой и AB = 3.

В трапеции ABCD точка E - середина основания AD, точка M - середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.

а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.

В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот,угол AHC равен 60^\circ.

а) Докажите, что угол ABC равен 120^\circ.
б) Найдите BH, если AB = 7, BC = 8.

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.

а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 3, а AC = 5.

Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE \perp AD и CE \perp BD.

а) Докажите, что углы AEB и BDA равны.
б) Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а \cos \angle AEB = \frac{4}{5}.

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки I и J — центры окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD соответственно.

а) Докажите, что прямые BI и DJ параллельны.
б) Найдите IJ, если AC = 12, \cos \angle BDC = \frac{3}{7}.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC_1 и медиану AA_1. Оказалось, что точки A, A_1, C и C_1 лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если AA_1 : CC_1 = 5 : 4 и A_1C_1 = 4.