Открытый банк заданий ЕГЭ

В остроугольном треугольнике ABC угол A = 60^\circ. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 6\sqrt{3}, \angle ABC = 45^\circ.

На стороне AC равностороннего треугольника ABC отмечена точка M. Серединный перпендикуляр к отрезку BM пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно.

а) Докажите, что ∠AEM = ∠CMK.
б) Найдите отношение площадей треугольников AEM и CMK, если AM : MC = 2 : 5.

Биссектриса AM угла A равнобедренной трапеции ABCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку AM и делит сторону AB в отношении AN : NB = 5 : 1.

а) Докажите, что прямые BM и CN перпендикулярны.
б) Найдите длину MN, если площадь трапеции равна 3\sqrt{2}.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Известно, что около четырёхугольника AMNC можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) На стороне AC отмечена точка F, такая что \angle AFB = 135^\circ. Отрезок BF пересекает отрезок MN в точке E. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника AMNC, если \angle ABC = 120^\circ и EF = 6\sqrt{2}.

Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его диагональ AC в точке M, диагональ BD — в точке N, причем AM : MC = 1 : 2, BN : ND = 1:3.

а) Докажите, что cos ∠BAD = 0,2.
б) Найдите площадь ромба, если MN = 5.

Точка В лежит на отрезке АС. Прямая, проходящая через точку А, касается окружности с диаметром ВС в точке М и второй раз пересекает окружность с диаметром АВ в точке К. Продолжение отрезка МВ пересекает окружность с диаметром АВв точке D.

а) Докажите, что прямые AD и МС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 7 и МК = 14.

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке D. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке P, а прямая OP пересекает сторону AB в точке K.

а) Докажите, что около четырёхугольника BDOK можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника BDOK, если AB = 10, BC = \sqrt{19}, AC = 9.

Окружность с центром O, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная, проведённая к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите BK : KP, если \cos \angle BAC = \frac{4}{5}.

В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL \cdot BC = AB \cdot AC.
б) Найдите EL, если AC = 8, \tg \angle BCA = \frac{1}{2}.

Биссектриса BB_1 и высота CC_1 треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках M и N. Известно, что угол BCA равен 85^\circ и угол ABC равен 40^\circ.

а) Докажите, что CN = BM.
б) Пусть MN и BC пересекаются в точке D. Найти площадь треугольника BDN, если его высота BH равна 7.