Открытый банк заданий ЕГЭ | Математика (профильная)

В прямоугольном параллелепипеде  через середину диагонали  проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали,
а) Докажите, что плоскость содержит точку
б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а
а) Докажите, что
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём Найдите площадь сечения MNB.

В основании прямой призмы  лежит равнобедренная трапеция  с основаниями  и Точка  делит ребро  в отношении  а точка — середина ребра 
а) Докажите, что плоскость параллельна прямой
б) Найдите тангенс угла между плоскостью и плоскостью основания призмы, если

Дана четырехугольная пирамида  в основании которой лежит ромб со стороной 10. Известно, что  

а) Докажите, что ребро перпендикулярно плоскости основания пирамиды

б) Найдите расстояние между прямыми  и 

В треугольной пирамиде c основанием известно, что  Основанием высоты этой пирамиды является точка Прямые и перпендикулярны.
a) Докажите, что треугольник прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды

На рёбрах AC, AD, BD и BC тетраэдра ABCD отмечены точки K, L, M и N соответственно, причём  Четырёхугольник KLMN — квадрат со стороной 2. 
а) Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны. 
б) Найдите расстояние от вершины B до плоскости KLM, если объём тетраэдра ABCD равен 25.

В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник  На прямой отмечена точка так, что точка — середина отрезка  На прямой отмечена точка так, что — середина отрезка
а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми и  если  

Ребро куба равно 30. На ребре  отмечена точка  так, что   а на ребре отмечена точка  - середина  причём плоскость  пересекает ребро в точке .
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки  до плоскости

Точка F — середина бокового ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка M лежит на стороне основания AB. Плоскость  проходит через точки F и M параллельно боковому ребру SC.
а) Плоскость  пересекает ребро SD в точке K. Докажите, что BM : MA = DK : KS.
б) Пусть BM : MA = 3 : 1. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость  разбивает пирамиду.

Дана пирамида SABC, в которой  
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.