Задания ЕГЭ | Математика (профильная)

Решение:
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма:
долларов.
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма:

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35000 долларов больше.

Ответ: 35000

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В первый день Вера подписала открыток, во второй -  в последний -  открыток. Всего было подписано открыток. Если количество подписываемых открыток увеличивалось на каждый день, то:




Тогда

Следовательно, за четвертый день было подписано 22 открытки.

Ответ: 22

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть улитка проползла в первый день метров, во второй - в последний - метров. Тогда м, а за дней проползла метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: откуда
Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ: 30

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй -  в последний - тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на тонн. Таким образом,





Имеем:

Следовательно, за девятый день было перевезено 18 тонн щебня.

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
В первый день турист прошел км, во второй -  в последний -  км. Всего он прошел км. 
Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на км, то:

где дней, км. Таким образом,

Тогда за третий день турист прошел
км.

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть рабочие в первый день проложили метров тоннеля, во второй -  в последний - метров тоннеля. Длина тоннеля  метров. 
10 дней.
Тогда в последний день рабочие проложили  метров.
Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть бригада в первый день покрасила метров забора, во второй  - в последний  - метров забора. Тогда м, а за дней было покрашено:
метров забора.
Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть км/ч - скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым, тогда скорость второго велосипедиста равна - 4 км/ч. Первый велосипедист прибыл к финишу на 4 часа раньше второго, отсюда имеем:

Ответ: 14

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть скорость второго -  км/ч.
Составим таблицу:

	км/ч	ч	км
Первый			190
Второй			190

- не подходит по условию.

Скорость первого: 

Ответ: 19

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

№	Масса раствора	Концентрация в %	Масса вещества
1	7	30
2	8	%	0
3	15	?

Определим какой % 2,1 составляет от 1,5:

Ответ: 14

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Пусть  км/ч скорость течения реки. Теплоход сначала двигался по течению и его скорость составила  км/ч. Затем, на обратном пути он двигался против течения со скоростью  км/ч. Время, проведенное в пути составило  - по течению, - против течения и 4 часа на стоянке. В сумме это время равнялось 60 часов. Имеем уравнение.








Получили скорость течения реки 2 км/ч.

Ответ: 2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Теплоход был в пути (без стоянки):
часа.
Пусть скорость течения реки  Тогда скорость теплохода по течению реки  а против течения 
Время потраченное на путь по течению равно  а на путь против течения  Зная что общее время в пути 34 часа, составим уравнение:

Скорость может быть только положительной, поэтому выбираем 3.

Ответ: 3

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
По условию задачи насосы работают совместно, заполняя бассейн водой. За одну минуту они заполнят  бассейна
Здесь деление на 2 в дроби позволяет избавиться от дублирования насосов, указанных в условии задачи. В итоге, полностью заполнить бассейн водой они смогут  минут.

Ответ: 18

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Обозначим объём бассейна как 1.
Тогда первый и второй насос заполняют его со скоростью:
Второй и третий наполняют тот же бассейн со скоростью:
Первый и третий – со скоростью:
Сложим скорости насосов и поделим на 2, так как каждый насос будет повторятся дважды:

Получаем, что скорость троих насосов –  значит бассейн они наполнят за 14 минут.

Ответ: 14

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Скорость удаления автомобилей друг от друга:
км/ч.
15 минут часа.
Расстояние через 15 минут после обгона:
км.

Ответ: 7,5 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
х – масса 45%-ного раствора кислоты;
у – масса 97%-ного раствора кислоты.

1 – 45%-ный раствор кислоты;
2 – 97%-ный раствор кислоты;
3 – 10 кг воды;
4 – 50%-ный раствор кислоты.

	Концентрация кислоты	Масса раствора	Масса кислоты
1	0,45	x
2	0,97	y
3	0	10	0
	0,62
	...	...	..
4	0,5	10	5
	0,72

Получили систему уравнений. Решив её, найдём массу 45% раствора кислоты (х):

Ответ: 15

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

	Весна	Лето
Скорость катера	x	x
Скорость течения	y
Скорость катера по течению
Скорость катера против течения
Уравнения

Получили систему уравнений, решив её, найдём скорость течения весной (у):

Ответ: 5 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Труба	U, резервуара в час	t, ч	А, л
1			110
2			110

1) 

2)

Ответ: 11

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Одна Настя пропалывает грядку за 42 минуты, тогда её производительность -  грядки в минуту. Пусть производительность Кати  где  - время, за которое Катя прополет грядку. Тогда время совместной работы равно частному работы и суммы производительностей. Получим уравнение и решим его:



Тогда одна Катя прополет грядку за 56 минут.

Ответ: 56

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:
Составим математическую модель в виде таблицы:

Поскольку скорость положительна, ответ 20.

Ответ: 20

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)