Тема: Окружности и треугольники
Высоты 
и 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника 
до стороны 
если 
и 
сумма 
и 
также равна 180°, значит, вокруг
(центральный и вписанный углы)
- равнобедренный с 
, значит, 
- равносторонний.
И 
смежный с ним, равен 
и 
подобны по двум углам.
) 
Тема: Многоугольники и их свойства
Высоты 
и 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите 
если 
и 
углы 
и 
- прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём 
- её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
и 
— прямые, значит, точки 
и 
лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
диаметр описанной окружности 
откуда
имеем:
имеем:
Треугольники 
и 
имеют общий угол 
и 
следовательно, они подобны.
Значит
Тема: Окружности и треугольники
- остроугольный треугольник. Высоты 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности до 
если 
а 
лежат на окружности с диаметром 
Углы 
и 
равны как вписанные, значит, углы тоже 
и 
тоже равны. Что и требовалось доказать.
- центр описанной окружности треугольника 
- середина стороны 
Требуется вычислить длину отрезка 
Заметим, что
и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен 
Значит,
равен удвоенному углу 
то есть 
Следовательно, угол 
равен 
Найдем искомое расстояние:
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 
и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 
и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 2 и 
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке 
Вершины 
и 
равнобедренного прямоугольного треугольника 
с прямым углом 
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая 
вторично пересекает бóльшую окружность в точке 
а прямая 
вторично пересекает меньшую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите 
если радиусы окружностей равны 7 и 3.
- общая касательная двух окружностей, причём точки 
и 
лежат по разные стороны от прямой 
а точки 
лежат по разные стороны от точки 
Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
и 
параллельны, поскольку накрест лежащие углы 
и 
при пересечении этих прямых прямой 
равны.
прямой, 
и 
- диаметры меньшей и большей окружностей соответственно.
прямоугольные треугольники 
и 
подобны по острому углу с коэффициентом подобия 
тогда 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 50 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 16 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 41 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
В треугольнике 
биссектрисы 
и 
пересекаются в точке 
Известно, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
а) Докажите, что угол 
равен 
б) Найдите площадь треугольника 
если его периметр равен 32 и 
и 
углы 
и 
соответственно. Тогда углы 
и 
равны 
и 
соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол 
равен 
Такая же величина вертикального угла 
По условию около четырёхугольника 
можно описать окружность. Следовательно, угол 
дополняет угол 
до 
сумму углов 
и 
Следовательно, 
откуда 
Значит, угол 
равен 
является точкой пересечения биссектрис 
и 
она также лежит на биссектрисе угла 
и является центром вписанной окружности в треугольник 
Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра 
опущенного из этой точки на сторону 
По доказанному, угол 
равен половине угла 
то есть он равен 
В прямоугольном треугольнике 
лежит катет 
Следовательно, 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром пересекает основание в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром пересекает основание в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
Диагонали равнобедренной трапеции 
с основаниями 
и 
перпендикулярны. Окружность с диаметром 
пересекает боковую сторону 
в точке 
а окружность с диаметром 
пересекает основание 
в точке 
Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
а) Докажите, что точка 
лежит на диагонали 
трапеции 
б) Найдите расстояние от точки 
до боковой стороны 
если 
лежит на окружности с диаметром 
поэтому прямая 
перпендикулярна прямой 
т.е. 
Аналогично 
- высота треугольника 
- точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая 
перпендикулярна прямой 
значит, 
пересечения высот 
а значит, на диагонали 
- основание высоты трапеции, опущенной на основание 
поэтому
до боковой стороны 
равно высоте 
треугольника 
опущенной на сторону 
а так как 
также высота этого треугольника, получаем, что 
Тема: Окружности и четырехугольники
На стороне 
параллелограмма 
выбрана такая точка 
что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник 
окружности лежит на диагонали 
б) Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если 
равнобедренный, следовательно, 
Прямые 
и 
параллельны, следовательно, накрест лежащие углы 
и 
при секущей 
равны.
а значит, луч 
на которой лежит центр вписанной в треугольник 
окружности.
через 
тогда 
По теореме косинусов в треугольнике 
имеем
откуда
в
имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми 
и общую сторону 
перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус 
вписанной в треугольник 
окружности:
Тема: Окружности и четырехугольники
На стороне 
параллелограмма 
выбрана такая точка 
что 
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник 
окружности лежит на диагонали 
б) Найдите радиус вписанной в треугольник 
окружности, если 
равнобедренный, следовательно, 
Прямые 
и 
параллельны, следовательно, накрест лежащие углы 
и 
при секущей 
равны.
а значит, луч 
является биссектрисой угла 
на которой лежит центр вписанной в треугольник 
окружности.
через 
тогда 
По теореме косинусов в треугольнике 
имеем
откуда
в
и параллелограмм 
имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми 
и 
и общую сторону 
перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника 
равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус 
вписанной в треугольник 
окружности:
Тема: Окружности и системы окружностей
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает 
в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и 
Треугольник 
у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые 
и 
параллельны. 
и 
подобны, 
Пусть 
тогда 
и 
общая высота, следовательно, 
т.е. 
Аналогично 
Площадь трапеции 
равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к 
перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
откуда 
и 
Тема: Многоугольники и их свойства
Прямая, перпендикулярная стороне 
ромба 
пересекает его диагональ 
в точке 
диагональ 
в точке 
при чем 
а) Докажите, что сторона делится прямой в отношении 
считая от точки 
б) Найдите сторону ромба, если 
(О - точка пересечения диагоналей ромба)
и отрезок KM:
(треугольники прямоугольные)
и 
- прямоугольные.
подобен 
(пункт а)
Тема: Многоугольники и их свойства
Прямая, перпендикулярная стороне 
ромба 
пересекает его диагональ 
в точке 
диагональ 
в точке 
причем 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если 
тогда 
а 
тогда 
а 
по т. Менелая:
по 2 углам (
– общий, 
), тогда 
по двум углам (
как вертикальные, 
) 
.
т. к. 
– острый.
Тема: Окружности и системы окружностей
Две окружности касаются внешним образом в точке 
Прямая 
касается первой окружности в точке 
а второй – в точке 
Прямая 
пересекает первую окружность в точке 
прямая 
пересекает вторую окружность в точке 
а) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите площадь треугольника 
если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
и 
центры окружностей.
- прямоугольный
и 
- прямоугольные 
AD и BC - диаметры.
(диаметр)
(диаметр)
и 
подобны, следовательно 
и 
есть общая высота, следовательно 
