Войти или зарегистрироваться можно через соцсети
Старт
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 3. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 2.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = \sqrt{15}.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 3.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2:1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = 2\sqrt{3}.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите \cos \angle LKN, если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите \cos \angle LKN , если KP : PM = 2 : 3 , AP : PB = 1 : 2.
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5 , r = 3.
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD — в точке L, причём AK:KC = 1:3, BL:LD = 2:1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD — в точке N, причём AM:MC = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = \sqrt{12}.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F так, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP \cdot BE = \sqrt{2}, то AB = \sqrt{3}.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP \cdot BE = \sqrt{2}, то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
