Открытый банк заданий ЕГЭ

Найдите корень уравнения \frac{1}{x+9} = \frac{1}{4}.

Найдите корень уравнения (x + 10)^2 = 40x.

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 4.

а) Может ли их сумма составлять 282?
б) Может ли их сумма составлять 390?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 2226?

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(4x - x^2)^2 - 32\sqrt{4x - x^2} = a^2 - 14a
имеет хотя бы один корень.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей.

Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придётся тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Решите неравенство \frac{\log_5(5x - 27)}{\log_5(x - 5)} \ge 1.

На рёбрах CD и BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причём DP = 4, а B_1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC_1 в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC_1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.

а) Решите уравнение 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−2\pi; −\frac{\pi}{2}].

Найдите корень уравнения \sqrt{−x} = x + 6. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.