Старт
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что \( AB : AL = BC : AC \).
б) Найдите \( EL \), если \( AC = 24 \), \( \tan \angle BCA = 0,6 \).
В параллелограмме ABCD угол BAC вдвое больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BC в точке L. На продолжении стороны CD за точку D выбрана такая точка E, что AE = CE.
а) Докажите, что AL : AC = AB : BC.
б) Найдите EL, если AC = 21, \tan \angle BCA = 0,4.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b + c < 2a.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c = 12, b = 6, a = 10.
В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD = c больше основания BC = b . Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если b + c > 2a, то окружность пересекает сторону BC в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка BC, которая находится внутри окружности, если c = 12 , b = 10, a = 8 .
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 3. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 2.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 3 : 2, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = \sqrt{15}.
На стороне BC ромба ABCD отметили точку E так, что BE : EC = 1 : 4. Через точку E перпендикулярно BC провели прямую, которая пересекает диагонали BD и AC в точках R и M соответственно, при этом BR : RD = 1 : 3.
а) Докажите, что точка M делит отрезок AC в отношении 2:1, считая от вершины C.
б) Найдите периметр ромба ABCD, если MR = 2\sqrt{3}.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите \cos \angle LKN, если KP : PM = 4 : 3, AP : PB = 3 : 2.
В трапеции KLMN с основаниями KN и ML провели биссектрисы углов LKN и LMN, которые пересеклись в точке P. Через точку P параллельно прямой KN провели прямую, которая пересекла стороны LK и MN соответственно в точках A и B. При этом AB = KL.
а) Докажите, что трапеция KLMN равнобедренная.
б) Найдите \cos \angle LKN , если KP : PM = 2 : 3 , AP : PB = 1 : 2.
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB .
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 5 , r = 3.
В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A вписана окружность с центром в точке O и радиусом R. К этой окружности параллельно прямой AB проведена касательная, которая пересекает стороны BC и AC в точках D и E соответственно. В треугольник CDE вписана окружность с центром в точке O_1 и радиусом r. Прямые OO_1 и AB пересекаются в точке P.
а) Докажите, что AP : PB = \cos \angle ACB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если R = 6, r = 4.
