Старт
Прямая, перпендикулярная стороне AB ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке K, а диагональ BD — в точке L, причём AK:KC = 1:3, BL:LD = 2:1.
а) Докажите, что прямая KL делит сторону ромба AB в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если KL = 6.
Прямая, перпендикулярная стороне BC ромба ABCD, пересекает его диагональ AC в точке M, а диагональ BD — в точке N, причём AM:MC = 1:2, BN:ND = 1:3.
а) Докажите, что прямая MN делит сторону ромба BC в отношении 1:4.
б) Найдите сторону ромба, если MN = \sqrt{12}.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F так, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP \cdot BE = \sqrt{2}, то AB = \sqrt{3}.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
В квадрате ABCD на диагонали BD и на сторонах AB и BC отметили соответственно точки P, E и F такие, что BE = BF, а прямая, проходящая через точку P параллельно прямой AC, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника EBFP и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если BP \cdot BE = \sqrt{2}, то AB = 2.
б) Найдите отношение площадей треугольников EPF и EBF.
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника АВС равен 4АС.
б) Найдите площадь треугольника АВС, если его периметр равен 24, \angle BAC = 60^\circ.
В треугольнике ABC точки N и P — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок NP касается окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что периметр треугольника ABC равен 4AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 28, \angle BAC = 120^\circ.
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что PC^2 = CD \cdot PK.
б) Найдите AC : AP, если AB : BC = 3 : 8.
В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что PC^2 = CD \cdot PK.
б) Найдите AC: AP, если BC: AB = 2,5.
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка E — середина стороны BC. Через точку B перпендикулярно прямой AB и через точку E перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке K.
а) Докажите, что AK = KD.
б) Найдите угол ADE, если расстояние от точки K до прямой AD равно длине отрезка EC и \angle ADC = 110^\circ.
В параллелограмме ABCD с острым углом BAD точка Е — середина стороны ВС. Через точку В перпендикулярно прямой АВ и через точку Е перпендикулярно прямой DE проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке К.
а) Докажите, что АК = KD.
б) Найдите угол BAD, если расстояние от точки К до прямой AD равно длине отрезка ЕС и \angle CED = 58^\circ.
