Открытый банк заданий ЕГЭ

Окружность с центром в точке О вписана в ромб АВСD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, K и P.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите площадь ромба ABCD, если известно, что FP = 6 и РК = 8.

Окружность с центром в точке О вписана в ромб АВСD и касается его сторон АВ, CD и AD соответственно в точках F, К и Р.
а) Докажите, что прямая FP параллельна диагонали ромба BD.
б) Найдите длину диагонали BD, если известно, что FP=12 и РК = 5.

В треугольнике АВС со сторонами АВ = 6\sqrt {2}, AC=2\sqrt {15} и ВС = 6 на стороне ВС отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 1.
а) Докажите, что AD — высота треугольника АВС.
б) На луче ВС отметили точку Е такую, что АС — биссектриса треугольника ВАЕ. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВАЕ.

В треугольнике АВС со сторонами AB = 6\sqrt{5}, \quad AC = 8\sqrt{3} и \quad BC = 6 на стороне ВС отметили точку D так, что BD: DC=1:2.
а) Докажите, что AD — высота треугольника АВС.
б) На луче ВС отметили точку Е такую, что АС — биссектриса треугольника ВАЕ. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВАЕ.

Окружность с центром в точке O радиуса R вписана в угол с вершиной в точке В,
равный 120^\circ. Точки А и С — точки касания угла и окружности, а АЕ и CD — диаметры окружности.

а) Докажите, что AD = 3BC.
б) Прямые BD и ВЕ вторично пересекают окружность в точках N и P соответственно.

Найдите PN, если R = 13.

Окружность с центром в точке O радиуса R вписана в угол с вершиной в точке В, равный 60^\circ. Точки А и С — точки касания угла и окружности, а АЕ и CD — диаметры окружности.

а) Докажите, что AB=DE.
б) Прямые BD и BE вторично пересекают окружность в точках N и P соответственно. Найдите площадь четырёхугольника DEPN, если R=7\sqrt{3}.

В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон АВ, ВС и AD, вторая — сторон BC, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной
из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1:9.

а) Докажите, что r= 0,3 \cdot CD.
6) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если АВ=20.

В равнобедренную трапецию ABCD с большим основанием AD вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон АВ, ВС и AD, вторая — стороны ВС, CD и AD, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны CD с одной из окружностей радиуса r делит сторону CD в отношении 1:4.

а) Докажите, что r = 0,4 \cdot CD.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, если АВ = 30.

На стороне BC ромба ABCD отметили точку M такую, что BM : MC = 2 : 3, DB = DM.

a) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,8.
б) На луче BH, где BH — высота треугольника BDM, отметили такую точку P, что около четырёхугольника ABPD можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = \sqrt{10}.

Точка M — середина стороны BC ромба ABCD, DB = DM .

а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен 0,75.

б) На луче BH , где BH — высота треугольника BDM , отметили такую точку P, что в четырёхугольник ABPD можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если AB = 4 .