Открытый банк заданий по ЕГЭ

Решение:

а) Обозначим через и углы  и соответственно. Тогда углы  и равны  и  соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол  равен  Такая же величина вертикального угла  По условию около четырёхугольника можно описать окружность. Следовательно, угол дополняет угол до сумму углов и Следовательно,  откуда  Значит, угол равен
б) Поскольку точка является точкой пересечения биссектрис и она также лежит на биссектрисе угла и является центром вписанной окружности в треугольник  Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра опущенного из этой точки на сторону По доказанному, угол равен половине угла то есть он равен В прямоугольном треугольнике против угла в лежит катет Следовательно, 
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 82

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Обозначим через и углы  и соответственно. Тогда углы  и равны  и  соответственно. По теореме о сумме углов треугольника получаем, что угол равен  Такая же величина вертикального угла  По условию около четырёхугольника можно описать окружность. Следовательно, угол дополняет угол до сумму углов и Следовательно,  откуда  Значит, угол равен
б) Поскольку точка является точкой пересечения биссектрис и она также лежит на биссектрисе угла и является центром вписанной окружности в треугольник  Значит, радиус этой окружности равен длине перпендикуляра опущенного из этой точки на сторону По доказанному, угол равен половине угла то есть он равен В прямоугольном треугольнике против угла в лежит катет Следовательно, 
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Значит, эта площадь равна 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 48

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Точка  лежит на окружности с диаметром поэтому прямая перпендикулярна прямой т.е. - высота треугольника Аналогично - высота треугольника Пусть - точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая перпендикулярна прямой значит, - третья высота треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, точка  пересечения высот и лежит на прямой а значит, на диагонали
б) Точка - основание высоты трапеции, опущенной на основание поэтому


Трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, поэтому 
Значит,   
По теореме Пифагора 
Растояние от точки до боковой стороны равно высоте  треугольника опущенной на сторону а так как также высота этого треугольника, получаем, что 
Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Точка  лежит на окружности с диаметром поэтому прямая перпендикулярна прямой т.е. - высота треугольника Аналогично - высота треугольника Пусть - точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая перпендикулярна прямой значит, - третья высота треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, точка  пересечения высот и лежит на прямой а значит, на диагонали
б) Точка - основание высоты трапеции, опущенной на основание поэтому


Трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, поэтому 
Значит,   
По теореме Пифагора 
Растояние от точки до боковой стороны равно высоте  треугольника опущенной на сторону а так как также высота этого треугольника, получаем, что 
Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б)

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Точка  лежит на окружности с диаметром поэтому прямая перпендикулярна прямой т.е. - высота треугольника Аналогично - высота треугольника Пусть - точка пересечения диагоналей трапеции. По условию задачи прямая перпендикулярна прямой значит, - третья высота треугольника Высоты треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, точка  пересечения высот и лежит на прямой а значит, на диагонали
б) Точка - основание высоты трапеции, опущенной на основание поэтому


Трапеция равнобедренная, а её диагонали перпендикулярны, поэтому 
Значит,   
По теореме Пифагора 
Растояние от точки до боковой стороны равно высоте  треугольника опущенной на сторону а так как также высота этого треугольника, получаем, что 
Следовательно, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 21,08

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Треугольник равнобедренный, следовательно, Прямые  и  параллельны, следовательно, накрест лежащие углы и при секущей равны.
Получаем, что а значит, луч является биссектрисой угла на которой лежит центр вписанной в треугольник  окружности.
б) Обозначим  через тогда По теореме косинусов в треугольнике имеем
  откуда следует, что
По теореме косинусов в треугольнике  в котором

Треугольник и параллелограмм имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми и и общую сторону перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус вписанной в треугольник окружности:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Треугольник равнобедренный, следовательно, Прямые  и  параллельны, следовательно, накрест лежащие углы и при секущей равны.
Получаем, что а значит, луч является биссектрисой угла на которой лежит центр вписанной в треугольник  окружности.
б) Обозначим  через тогда По теореме косинусов в треугольнике имеем
  откуда следует, что
По теореме косинусов в треугольнике  в котором

Треугольник и параллелограмм имеют общую высоту, равную расстоянию между прямыми и и общую сторону перпендикулярную этой высоте. Значит, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма

С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отсюда найдём радиус вписанной в треугольник окружности:

Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Обозначим центры окружностей и соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает  в точке  По свойству касательных, проведённых из одной точки,  и Треугольник у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол прямой, поэтому он опирается на диаметр Значит,  Аналогично получаем, что Следовательно, прямые  и параллельны. 

б) Пусть, для определённости, первая окружность имеет радиус 4, а вторая – радиус 1. 
Треугольники и подобны,  Пусть  тогда
У треугольников и общая высота, следовательно,  т.е.  Аналогично  Площадь трапеции равна Вычислим площадь трапеции Проведём к перпендикуляр  равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника

Тогда 
Следовательно, откуда и 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 3,2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

Пусть прямая пересекает AD в точке D, а BC в точке K.
(О - точка пересечения диагоналей ромба)

Получаем, что 

Рассмотрим  и отрезок KM:
По теореме Менелая 



б)  (треугольники прямоугольные)
Рассмотрим  и  - прямоугольные.
подобен 
(пункт а)
Тогда получаем, 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) 1)  тогда  а 
          тогда  а
б) Для по т. Менелая:
      
      
      
3)  по 2 углам ( – общий, ), тогда 
      Обозначим АМ за х, тогда
      Обозначим АР за 2у, тогда
      Подставим в пропорцию:
      
4) 
      
      

б) 1) по двум углам ( как вертикальные, )  
2) В 
      
      Тогда .
3)  т. к.  – острый.
4) В 
      
      Тогда 
5)

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: Б) 

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Решение:

а) Пусть  и  центры окружностей.
Проведём общую касательную KM (M - точка пересечения AB и KM).
По свойству касательных, проведённых из одной точки: 
Рассмотрим 
- прямоугольный

Рассмотрим  и  - прямоугольные AD и BC - диаметры.
Из этого следует, что 
б)  (диаметр)
(диаметр)
и  подобны, следовательно
Из этого следует, что  
У  и  есть общая высота, следовательно 

ABCD - трапеция, следовательно 

Проведём высоту 


Тогда по теореме Пифагора 



Тогда 

Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) - 3 балла
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки - 2 балла
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен - 1 балл
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше - 0 баллов

Ответ: 3,2

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ)

Правильный ответ должен содержать следующие элементы:
1) Год – 1942; 
2) Название операции – Уран 
3) Суждение, например: «опыт у всех одинаковый – училищные стрельбы в Ташкентском пехотном по ускоренной программе».

Каждый из элементов 1 и 2 ответа может быть засчитан только при условии отсутствия неверных позиций в этом элементе наряду с верной. Элемент ответа 3 может быть представлен как в форме цитат, так и в форме сжатого воспроизведения основных идей соответствующего фрагмента текста. Поскольку в задании требуется найти в тексте данную в явном виде конкретную информацию, не засчитывается при оценивании элемента 3 ответа переписанный целиком объёмный отрывок текста, включающий наряду с верным элементом избыточную информацию.

Правильно указаны год, название операции, приведено суждение – 3 балла
Правильно указаны только два элемента – 2 балла
Правильно указан только один элемент – 1 балл
Приведены рассуждения общего характера, не соответствующие требованию задания ИЛИ Ответ неправильный – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Артасов)

Правильный ответ должен содержать следующие элементы:
1) Название битвы — Сталинградская;
2) Кодовое название операции, например:
– «Уран»;
– «Кольцо».
(Может быть указано название другой операции). 
3) Суждение, например:
– пленные немецкие разведчики считали, что дом обороняет батальон;
– на защитников дома «равнялась, как в строю, вся дивизия, о нём слагались песни и легенды»;
– дом обороняли бойцы, «каждый из которых стоил целого отделения, а то и взвода противника».

Каждый из элементов 1 и 2 ответа может быть засчитан только при условии отсутствия неверных позиций в этом элементе наряду с верной. Элемент ответа 3 может быть представлен как в форме цитат, так и в форме сжатого воспроизведения основных идей соответствующего фрагмента текста. Поскольку в задании требуется найти в тексте данную в явном виде конкретную информацию, не засчитывается при оценивании элемента 3 ответа переписанный целиком объёмный отрывок текста, включающий наряду с верным элементом избыточную информацию.

Правильно указаны немецкое и советское названия событий, приведено суждение – 3 балла
Правильно указаны только два элемента – 2 балла
Правильно указан только один элемент – 1 балл
Приведены рассуждения общего характера, не соответствующие требованию задания ИЛИ Ответ неправильный – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Артасов)

Правильный ответ должен содержать следующие элементы:
1) Название города — Ленинград; 
2) Название операции:
– «Искра»;
3) Суждение, например: так как в городе, помимо местных жителей, застряли ещё беженцы из Прибалтики, Псковщины и пригородов Ленинграда.

Каждый из элементов 1 и 2 ответа может быть засчитан только при условии отсутствия неверных позиций в этом элементе наряду с верной. Элемент ответа 3 может быть представлен как в форме цитат, так и в форме сжатого воспроизведения основных идей соответствующего фрагмента текста. Поскольку в задании требуется найти в тексте данную в явном виде конкретную информацию, не засчитывается при оценивании элемента 3 ответа переписанный целиком объёмный отрывок текста, включающий наряду с верным элементом избыточную информацию.

Правильно указано три элемента – 3 балла
Правильно указано только два элемента – 2 балла
Правильно указан только один элемент – 1 балл
Приведены рассуждения общего характера, не соответствующие требованию задания ИЛИ Ответ неправильный – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Артасов)

Правильный ответ должен содержать следующие элементы:
1) Название битвы — Сталинградская;
2) Кодовое название операции, например:
– «Уран»;
– «Кольцо».
(Может быть указано название другой операции). 
3) Суждение, например:
– пленные немецкие разведчики считали, что дом обороняет батальон;
– на защитников дома «равнялась, как в строю, вся дивизия, о нём слагались песни и легенды»;
– дом обороняли бойцы, «каждый из которых стоил целого отделения, а то и взвода противника».

Каждый из элементов 1 и 2 ответа может быть засчитан только при условии отсутствия неверных позиций в этом элементе наряду с верной. Элемент ответа 3 может быть представлен как в форме цитат, так и в форме сжатого воспроизведения основных идей соответствующего фрагмента текста. Поскольку в задании требуется найти в тексте данную в явном виде конкретную информацию, не засчитывается при оценивании элемента 3 ответа переписанный целиком объёмный отрывок текста, включающий наряду с верным элементом избыточную информацию.

Правильно указаны немецкое и советское названия событий, приведено суждение – 3 балла
Правильно указаны только два элемента – 2 балла
Правильно указан только один элемент – 1 балл
Приведены рассуждения общего характера, не соответствующие требованию задания ИЛИ Ответ неправильный – 0 баллов

Источник: Реальные задания (ЕГЭ, ФИПИ, Артасов)

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Скоро здесь будет пояснение.

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Реакцией соединения является реакция типа A + B → C.

1) CaO + H₂O → Ca(OH)₂  
2) FeCl₂ + Cl₂ → FeCl₃
3) NH₃ + HCl → NH₄Cl
4) NH₃ + CuO → Cu + N₂ + H₂O
5) (NH₄)₂SO₄ + AgNO₃ → Ag₂SO₄ + NH₄NO₃

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Скоро здесь будет пояснение

Ответ: 135

Источник: ФИПИ

Скоро здесь будет пояснение

Ответ: 15

Источник: ФИПИ