Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 105 камней, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Мог ли в первой коробке оказаться 101 камень, во второй - 106, в третьей - 107, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли во второй коробке оказаться 318 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 315 камней.Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 109 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй - 110, в третьей - 111, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 330 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 327 камней.Тема: Свойства чисел
Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй - 94, в третьей - 95, а в четвёртой - 4?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
и 
камней соответственно. Тогда после одного хода в коробках могло оказаться либо 
и 
камня, либо 
и 
камень, либо 
и 
камень, либо 
и 
камней суммарно, а в первой коробке не больше 279 камней.Тема: Свойства чисел
Сумма цифр трёхзначного числа 
равна 
а) Может ли произведение 
быть равно 1435?
б) Может ли произведение 
быть равно 1436?
в) Найдите наименьшее значение произведения 
если известно, что оно больше 1918.
делится на 3, то 
делится на 3. Если число 
Пусть 
где 
Тогда 
на 9 совпадает с остатком от деления 
на 9. Этот остаток может быть равен 
или 7, поскольку 
Таким образом, остаток от деления произведения 
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число только следующим способом:
а значит, его можно представить в виде произведения трёхзначного числа на какое-то другое число следующими способами:
равна 13. Следовательно, для этого числа 
большее 1918, равно 1924.Тема: Свойства чисел
Из пары натуральных чисел 
где 
за один ход получают пару 
а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару, большее число в которой равно 
б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары 
пару 
в) Какое наименьшее a может быть в паре 
из которой за несколько ходов можно получить пару 
за один ход получается пара 
за два хода получается пара 
за три хода получается пара 
а за четыре хода получается пара 
получается пара 
а за два хода получается пара 
Следовательно, из пары 
можно получить только пары 
и 
где k – неотрицательное целое число. Число 
не равно 
и 
а значит, пару 
невозможно получить за несколько ходов из пары 
за один ход можно получить только из пары 
при условии, что числа 
и 
одной чётности.
получается из пары 
которая получается из пары 
Пару 
невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 
и 
имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число 
в паре 
из которой за несколько ходов можно получить пару 
равно 
Тема: Свойства чисел
Из пары натуральных чисел 
где 
за один ход получают пару 
a) Можно ли из пары 
за несколько ходов получить пару, в которой наибольшее число 600?
б) Можно ли из пары 
за несколько ходов получить пару 
в) Какое наименьшее a должно быть в паре, из которой можно получить пару 
получаем пару 
a и b натуральные, поэтому очевидно, что 
Тогда из пары 
получим пару 
т. е. за два хода оба числа удваиваются. Тогда, если сделать 4 хода, 150 удвоится 2 раза, и получится 600.
мы получим пару 
Дальнейшие пары будут иметь вид 
либо 
Число 1190 кратно 17, а из данных чисел ни одно не кратно 17, значит получить его нельзя.
дала пару 
то 
и 
Тогда 
и 
За 2 хода числа удваиваются, осталось построить предыдущие пары делением на 2. Пара 
вообще не получается удвоением, а пара 
получается удвоением пары 
которую уже нельзя поделить на 2. Тогда наибольшее 
Тема: Числовые наборы на карточках/досках
На доске написано трехзначное число 
Сережа зачеркивает одну цифру и получает двузначное число 
затем Коля записывает число 
и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что и Сережа), и получает число С.
a) Может ли быть верным уравнение 
если 
б) Может ли быть верным уравнение 
если 
в) Найдите наибольшее число 
до 900, чтобы было верным уравнение 
что больше 500, значит такое невозможно.
Докажем, что для больших чисел такая ситуация невозможна. Очевидно, что 
Рассмотрим числа от 812 до 899 включительно. Они все начинаются на 8. Если оба получившихся двузначных числа сохраняют первую восьмерку, то их произведение больше 
Если первую восьмерку сохраняет одно из них, то одно число не меньше 80 (состоит из первых двух цифр числа), а второе не меньше 12 (состоит из двух последних цифр числа), тогда их произведение не меньше 
Если ни одно из чисел не сохраняет первую цифру, то эти два числа одинаковы, а число А является их произведением и следовательно квадратом целого числа. 
но при отбрасывании 8 получаем 41 и 
Значит, такой вариант тоже невозможен. Тогда наибольшим подходящим числом будет 810. Тема: Сюжетные задачи
Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
Тема: Свойства чисел
На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно сумме цифр первого, а третье равно сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 2022?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 2021?
в) В тройке чисел первое число трёхзначное, а третье равно 2. Сколько существует таких троек?
Тема: Сюжетные задачи
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. В каждой школе тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?
б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?
в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
тогда 
не делится на 10
получаем противоречие, так как u - натуральное число по условию.
или 
то 
не делится на 10.
или 
то 
A должно быть дробным, а это противоречит условию.
тогда 
средний балл равен 2.
Тема: СССР в 1953-1964 гг.
Используя знания по истории России, раскройте понятие «Организация Варшавского Договора (ОВД)». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Революции и Гражданская Война в России
Используя знания по истории России, раскройте понятие «антоновщина». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Эпоха Петра I
Используя знания по истории России, раскройте понятие «коллегии». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Формирование и централизация Русского государства
Используя знания по истории России, раскройте понятие «стрельцы». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Формирование и централизация Русского государства
Используя знания по истории России, раскройте понятие «ясак». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Эпоха Александра I
Используя знания по истории России, раскройте понятие «министерства». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Эпоха Петра I
Используя знания по истории России, раскройте понятие «Потешное войско». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: Эпоха Николая II
Используя знания по истории России, раскройте понятие «кадеты». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном Вами определении.
Тема: СССР в 1929-1941 гг.
Используя знания по истории России, раскройте смысл понятия «трудодень». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном вами определении понятия.
Тема: Революции и Гражданская Война в России
Используя знания по истории России, раскройте смысл понятия «Учредительное собрание». Приведите один исторический факт, конкретизирующий данное понятие применительно к истории России. Приведённый факт не должен содержаться в данном вами определении понятия.